[주말N수학] 기하학과 정수론 그리고 노력의 대가 베른하르트 리만

베른하르트 리만(A.D 19 세기)

9월은 독일의 천재 수학자 게오르크 프리드리히 베른하르트 리만이 태어난 날(9월17일)이 있는 달입니다. 리만은 해석학, 정수론, 미분기하학 등에서 큰 업적을 남겼습니다. 리만 기하학, 리만 가설, 리만 제타 함수, 리만 다양체 등 여러 개념을 제시해 수학을 조금이라도 깊게 공부해본 사람들은 한 번쯤 그의 이름을 봤을 정도일 겁니다.

리만이 주로 다뤘던 기하학은 점, 선, 면, 부피 등 공간의 성질을 연구하는 수학 분야입니다. 평소 학교에서 배우는 기하학은 ‘어떤 직선 밖의 한 점을 지나면서 이와 평행한 직선은 단 하나만 존재한다’는 공리를 포함합니다. 그런데 리만은 “구 위에서는 이 공리를 만족하는 직선이 존재하지 않는다”고 말했죠. 즉, 구부러진 공간에 적용할 수 있는 새로운 기하학 규칙의 필요성을 제기했습니다. 이것이 리만 기하학의 시작입니다.

리만 기하학은 물리학에도 큰 영향을 미쳤습니다. 독일 태생의 미국 물리학자 알베르트 아인슈타인은 일반 상대성 이론을 만들면서 기존의 기하학으로 시공간의 휘어짐을 표현하는데 어려움을 겪었습니다. 하지만 스위스의 수학자인 마르셀 그로스만의 조언을 들은 아인슈타인은 리만 기하학을 이용해 일반 상대성 이론을 완성했습니다.

베른하르트 리만(A.D 19 세기)은 오일러가 만든 공식을 확장해 만든 ‘리만 제타 함수'를 이용해 스승인 가우스의 공식을 더욱 정교화시킨 연구 결과를 제시했다. 수학동아DB

또 리만은 ‘리만 가설’이라고 부르는 문제를 제시하기도 했습니다. 리만 가설은 ‘1과 자기 자신만을 약수로 갖는 소수의 분포에 규칙이 존재한다’는 내용으로 미국 클레이수학연구소에서 지정한 세계 7대 수학 난제 중 하나입니다. 독일의 수학자인 다비트 힐베르트는 ‘1000년 뒤에 내가 다시 살아난다면 가장 먼저 리만 가설이 증명됐는지 물어볼 것이다’라고 말했다고 전해집니다. 리만 가설이 이처럼 중요한 이유는 소수를 다루는 몇몇 정수론 이론이 리만 가설이 참이라는 전제를 두며 현대 암호 체계가 소수에 기반을 두고 있기 때문입니다.

리만 가설은 정수론 외에 양자역학과도 연관이 있습니다. 1972년 미국의 수학자 휴 몽고메리는 프린스턴고등연구소의 물리학자 프리먼 다이슨을 찾아가 리만 가설과 연관된 함수인 리만 제타 함수에 대해 논의했습니다. 다이슨은 이 함수가 원자핵의 에너지를 표현하는 양자역학의 수식과 같다는 것을 밝혀내기도 했습니다. 

수학 천재 중 하나로 일컬어지는 리만도 사실은 부단히 노력하는 사람이었다고 합니다. 그의 유품 중엔 수많은 계산과정이 적혀있는 소위 ‘깜지’들이 발견되기도 했습니다.  안타깝게도 그는 이탈리아 여행 중 폐결핵에 걸려 1866년 7월 20일 만 40세의 젊은 나이에 세상을 떠났습니다. 

리만이 수학을 공부한 독일 괴팅겐대학교. 괴팅겐대학교는 리만의 스승인 카를 프리드리히 가우스와 더불어 펠릭스 클라인, 다비트 힐베르트 등 걸출한 수학자들이 거쳐갔다. 위키미디어 제공

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[윤태인 기자 yoon_taein@donga.com]